Решение к задаче 3. Поворот автомобиля на горизонтальной дороге.

Если автомобиль на повороте движется по дуге окружности, значит, ускорение автомобиля направлено по горизонтали к центру окружности (рис. 15.2). Это ускорение обусловлено равнодействующей всех приложенных к автомобилю сил. Сила тяжести и сила нормальной реакции направлены вертикально и компенсируют друг друга. Откуда же берется горизонтальная сила, вызывающая горизонтально направленное ускорение

Этой силой является сила трения , действующая на колеса со стороны дороги, и направленная по горизонтали перпендикулярно скорости .

Какая это сила трения - покоя или скольжения ? Мы уже знаем, что при качении без проскальзывания нижняя точка колеса покоится относительно дороги (см. § 5. Примеры решения задач ). Значит, возникающая на повороте сила трения - это сила трения покоя - именно она вызывает центростремительное ускорение автомобиля при повороте. А для силы трения покоя, как мы уже знаем, должно выполняться неравенство Именно это неравенство и объясняет, как мы сейчас увидим, почему существует ограничение на величину скорости при повороте.

Изобразим все силы, действующие на автомобиль при повороте (рис. 15.3).

Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на оси координат. Совместим начало координат с положением автомобиля в данный момент, ось направим вертикально вверх, а ось - горизонтально вдоль радиуса к центру окружности. Мы получим систему из двух уравнений и одного неравенства:

Из второго уравнения следует, что Подставим это выражение для и выражение для из первого уравнения в неравенство. Мы получим: Отсюда и следует искомое неравенство для допустимой скорости на повороте:

В нашем случае, подставляя численные данные из условия, получаем, что скорость автомобиля на повороте не может превышать

Как мы видим, скорость на повороте должна быть значительно меньше обычной скорости при движении по городу (около ), поэтому перед поворотом водитель всегда притормаживает.

При гололеде коэффициент трения между шинами и дорогой значительно уменьшается: он становится равным 0,2 вместо 0,5 на сухой дороге. Поэтому ограничение на скорость становится более строгим: подставляя в формулу получаем, что при гололеде скорость автомобиля на повороте не может превышать (скорость легкой пробежки).

Механика. 2014

Движения конькобежца, велосипедиста, поезда и т. д. на закруглениях пути обычно представляют собой движение по дуге окружности, но, в отличие от «американских горок», в этих случаях криволинейная траектория лежит в горизонтальной плоскости. Движущееся тело находится под действием двух сил: силы тяжести и силы реакции со стороны опоры (лед, земля, рельсы). Если тело неподвижно или движется прямолинейно, эти силы направлены вертикально и уравновешивают друг друга. На поворотах же необходимо, чтобы их равнодействующая была направлена в сторону вогнутости траектории. Для этого движущемуся телу придают наклон в эту сторону. При этом появляется сила реакции опоры, направленная в сторону наклона, к центру описываемой окружности, и создающая требуемое центростремительное ускорение.

Рис. 194. Велосипедист наклоняется в сторону поворота. Сила тяжести и сила реакции со стороны земли дают равнодействующую силу , сообщающую центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности

Рис.. 195. Наклон железнодорожного пути на закруглении. Сила тяжести , действующая на вагон, и сила реакции рельсов дают результирующую силу , обусловливающую центростремительное ускорение вагона

Как осуществляется наклон? Конькобежец и велосипедист вызывают его сознательно (или инстинктивно), перемещая центр тяжести своего тела движением корпуса или рук. В результате возникает сила трения между коньком и льдом или шиной велосипеда и землей, которая создает центростремительное ускорение. Сила трения, направлена в ту сторону, куда наклонен велосипед. В результате сила , действующая со стороны земли, отклонится в ту же сторону (рис. 194). Если сила трения недостаточно велика (например, конек тупой или дорога скользкая), то конек или колесо скользнут по льду или земле и произойдет падение.

Для поезда наклон создается устройством пути. На закруглениях наружный рельс кладется несколько выше внутреннего (рис. 195). Наклон железнодорожного пути рассчитан на некоторую среднюю скорость. Значительное превышение этой скорости может привести к крушению поезда.

121.1. Если поезд идет по закруглению пути с той скоростью, на которую рассчитан наклон пути, то пассажирам кажется, что вагон не наклонился. При большей скорости пассажирам кажется, что вагон наклонился наружу, а при меньшей - внутрь закругления. Объясните эти явления.

Если задавать вопрос "почему велосипед не падает?" всем подряд, то большинство, скорее всего, не смогут ответить на него. Просто пожмут плечами. Меньшая часть, считающая себя технически грамотными людьми, ответит, что это, вероятно, из-за эффекта гироскопа. И, наверно, будут удивлены, узнав, что гироскоп не имеет к этому никакого отношения, это показал эксперимент в котором нивелировали этот эффект, а велосипед продолжал ехать. И лишь незначительное меньшинство ответит правильно. Итак, почему не падают велосипедисты?

Велосипед не падает из-за центробежной силы

Для сохранения равновесия любого тела необходимо, чтобы перпендикуляр, опущенный из центра его тяжести, не выходил за площадь опоры. Чем меньше последняя, тем менее устойчиво положение.

Площадь опоры велосипеда предельно мала – по сути, она представляет собой прямую линию, проведенную между точками касания колесами земли. Поэтому велосипед (с велосипедистом или без него) не может стоять, находясь в неподвижном положении. Но при движении устойчивость чудесным образом возвращается к нему. Почему это происходит?

Все дело в центробежной силе, которая возникает при подруливании. Если движущийся велосипед начинает наклоняться в какую-нибудь сторону, велосипедист слегка поворачивает руль в сторону наклона, заставляя машину поворачиваться. При этом возникает центробежная сила, направленная в сторону, противоположную наклону. Она-то и возвращает велосипед в вертикальное положение. Двухколесный велосипед не способен ехать строго по прямой. Если его руль зафиксировать в неподвижном положении, он обязательно упадет, потому что исключается возможность подруливания.

Этот процесс – отклонение от вертикали и возвращение к ней – происходит непрерывно. Велосипедист даже не задумывается о том, что происходит. Его руки автоматически совершают подруливание, которое необходимо для сохранения вертикального положение. К слову сказать, именно в приобретении автоматизма подруливания и состоит обучение езды на велосипеде.

Конструкция велосипеда и поддержание равновесия

Конструкция рулевой колонки и передней вилки велосипеда облегчает автоматическое поддержание равновесия. Ось рулевой колонки (передней вилки) проходит не вертикально, а наклонно к земле. Точка ее пересечения с грунтом располагается впереди того места, где переднее колесо соприкасается с дорогой. Такая схема способствует тому, что если переднее колесо случайно отклоняется от среднего положения, сразу возникает момент реактивных сил, который возвращает его на место.

При наклоне велосипеда реакция опоры переднего колеса, которая приложена в точке его касания с землей и направлена вверх, автоматически поворачивает колесо в сторону наклона. Возникает центробежная сила и велосипед возвращается в вертикальное положение.

Для лучшего понимания этого процесса, нужно просто принять во внимание, что схема сил, действующих на переднее колесо велосипеда, является примерно такой же, как и у тележек с вращающимися колесами. В какую сторону тележку не толкать, колеса автоматически поворачиваются в нужном направлении. Кстати, именно эта особенность конструкции велосипеда обеспечивает возможность езды, не держась руками за руль. Велосипед самостоятельно поддерживает равновесие. А чтобы выполнить поворот, достаточно сместить центр тяжести своего тела в сторону.

Степень способности конкретного велосипеда поддерживать динамическое равновесие определяется конструкцией его рулевой колонки и вилки. Главный параметр здесь – расстояние от точки соприкосновения переднего колеса с землей, до точки пересечения оси рулевой колонки (передней вилки) с грунтом. Как уже говорилось, последняя находится впереди первой. Реактивный момент, действующий на колесо при его повороте, будет тем выше, чем больше это расстояние. Для оптимальных динамических характеристик велосипеда требуется не самый большой, а строго определенный реактивный момент. Слишком малый уменьшит автоматическое поддержание равновесия, чрезмерно большой – приведет к возникновению «шимми». Поэтому наклон оси рулевой колонки и параметры передней вилки при проектировании велосипеда выбираются очень тщательно.

Что такое «шимми»

При высокой скорости (выше 30 км/час) переднее колесо велосипеда может начать самопроизвольно вилять вправо-влево. Это явление, которое, кстати, имеет место и в авиации, называется «speed wobbles» или «шимми». Причина его заключается не в неисправности велосипеда (плохой сборке или ослаблении креплений), а в том, что возникает резонанс переднего колеса. «Шимми» очень опасно в том случае, когда велосипедист едет «без рук», то есть не держится за руль. Чтобы погасить возникший резонанс, нужно снизить скорость или изменить позу.

Велосипед – энергоэффективней

По затратам энергии на единицу преодоленного расстояния велосипед эффективней не только ходьбы, но и езды на автомобиле. При движении велосипеда со скоростью 30 км/час тратится 15 ккал на 1 км. Ходьба со скоростью 5 км/час приводит к сжиганию 60 ккал на 1 км. То есть по энергозатратам на единицу расстояния движение на велосипеде в 4 раза эффективнее ходьбы.

… и функциональней

Если рассматривать езду на велосипеде с точки зрения спортивной нагрузки, то она тоже оказывается предпочтительней ходьбы. Катание на велосипеде отнимает 450 ккал в час, в то время как при ходьбе тратится только 300 ккал. Конечно, физическую нагрузку можно увеличить, перейдя с шага на бег. Но в этом случае возрастает нагрузка на колени и голеностопные суставы, что нежелательно, поскольку со временем может привести к травме этих проблемных мест.

Когда женщины быстрее

Тренированный мужчина, даже не будучи профессиональным спортсменом, может длительное время развивать мощность 250 Вт или 0,33 л. с. При езде на велосипеде по ровной дороге это примерно соответствует скорости 30 км/час. Женщины не могут развивать такой мощности, как мужчины, но в расчете на единицу веса их энергетические показатели превосходят мужские. При езде по ровной дороге, когда вся мощность тратится в основном на преодоление сопротивления воздуха, женщины едут медленнее, чем мужчины. Зато при езде в гору, когда энергия тратится на преодоление силы тяжести, они способны ехать быстрее сильной половины.

Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант. - 1972. - № 9. - С. 51-57.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Для описания движения по окружности наряду с линейной скоростью вводят понятие угловой скорости. Если точка при движении по окружности за время Δt описывает дугу, угловая мера которой Δφ, то угловая скорость .

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением υ = ω·r , где r - радиус окружности, по которой движется точка (рис. 1). Понятие угловой скорости особенно удобно для описания вращения твердого тела вокруг оси. Хотя линейные скорости у точек, находящихся на разном расстоянии от оси, будут неодинаковыми, их угловые скорости будут равны, и можно говорить об угловой скорости вращения тела в целом.

Задача 1 . Диск радиуса r катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянная и равна υ п. С какой угловой скоростью при этом вращается диск?

Каждая точка диска участвует в двух движениях - в поступательном движении со скоростью υ п вместе с центром диска и во вращательном движении вокруг центра с некоторой угловой скоростью ω.

Для нахождения ω воспользуемся отсутствием проскальзывания, то есть тем, что в каждый момент времени скорость точки диска, соприкасающейся с плоскостью, равна нулю. Это означает, что для точки А (рис. 2) скорость поступательного движения υ п равна по величине и противоположна по направлению линейной скорости вращательного движения υ вр = ω·r . Отсюда сразу получаем .

Задача 2. Найти скорости точек В , С и D того же диска (рис. 3).

Рассмотрим вначале точку В . Линейная скорость ее вращательного движения направлена вертикально вверх и равна , то есть по величине равна скорости поступательного движения, которая, однако, направлена горизонтально. Складывая векторно эти две скорости, находим, что результирующая скорость υ B по величине равна и образует угол 45º с горизонтом. У точки С скорости вращательного и поступательного движения направлены в одну сторону. Результирующая скорость υ C равна 2υ п и направлена горизонтально. Аналогично находится и скорость точки D (см. рис. 3).

Даже в том случае, когда скорость точки, движущейся по окружности, не меняется по величине, точка имеет некоторое ускорение, так как меняется направление вектора скорости. Это ускорение называется центростремительным . Оно направлено к центру окружности и равно (R - радиус окружности, ω и υ - угловая и линейная скорости точки).

Если же скорость точки, движущейся по окружности, меняется не только по направлению, но и по величине, то наряду с центростремительным ускорением существует и так называемое тангенциальное ускорение. Оно направлено по касательной к окружности и равно отношению (Δυ - изменение величины скорости за время Δt ).

Задача 3. Найти ускорения точек А , В , С и D диска радиуса r , катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянна и равна υ п (рис. 3).

В системе координат, связанной с центром диска, диск вращается с угловой скоростью ω, а плоскость движется поступательно со скоростью υ п. Проскальзывание между диском и плоскостью отсутствует, следовательно, . Скорость поступательного движения υ п не меняется, поэтому угловая скорость вращения диска постоянная и точки диска имеют только центростремительное ускорение , направленное к центру диска. Так как система координат движется без ускорения (с постоянной скоростью υ п), то в неподвижной системе координат ускорения точек диска будут теми же.

Перейдем теперь к задачам на динамику вращательного движения. Вначале рассмотрим простейший случай, когда движение по окружности происходит с постоянной скоростью. Так как ускорение тела при этом направлено к центру, то и векторная сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть тоже направлена к центру, и по II закону Ньютона .

Следует помнить, что в правую часть этого уравнения входят только реальные силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Никакой центростремительной силы при движении по окружности не возникает. Этим термином пользуются просто для обозначения равнодействующей сил, приложенных к телу, движущемуся по окружности. Что касается центробежной силы , то она возникает только при описании движения по окружности в неинерциальной (вращающейся) системе координат. Мы пользоваться здесь понятием центростремительной и центробежной силы вообще не будем.

Задача 4 . Определить наименьший радиус закругления дороги, которое автомобиль может пройти при скорости υ = 70 км/ч и коэффициенте трения шин о дорогу k =0,3.

Р = m·g , сила реакции дороги N и сила трения F тp между шинами автомобиля и дорогой. Силы Р и N направлены вертикально и равны по величине: P = N . Сила трения, препятствующая проскальзыванию («заносу») автомобиля, направлена к центру поворота и сообщает центростремительное ускорение: . Максимальное значение силы трения F тр max = k ·N = k ·m·g , поэтому минимальное значение радиуса окружности, по которой еще возможно движение со скоростью υ, определяется из уравнения . Отсюда (м).

Сила реакции дороги N при движении автомобиля по окружности не проходит через центр тяжести автомобиля. Это связано с тем, что ее момент относительно центра тяжести должен компенсировать момент силы трения, стремящийся опрокинуть автомобиль. Величина силы трения тем больше, чем больше скорость автомобиля . При некотором значении скорости момент силы трения превысит момент силы реакции и автомобиль опрокинется.

Задача 5 . При какой скорости автомобиль, движущийся по дуге окружности радиуса R = 130 м, может опрокинуться? Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м над дорогой, ширина следа автомобиля l = 1,5 м (рис. 4).

В момент опрокидывания автомобиля как сила реакции дороги N , так и сила трения F тp приложены к «внешнему» колесу. При движении автомобиля по окружности со скоростью υ на него действует сила трения . Эта сила создает момент относительно центра тяжести автомобиля . Максимальный момент силы реакции дороги N = m·g относительно центра тяжести равен (в момент опрокидывания сила реакции проходит через внешнее колесо). Приравнивая эти моменты, найдем уравнение для максимальной скорости, при которой автомобиль еще не опрокинется:

Откуда ≈ 30 м/с ≈ 110 км/ч.

Чтобы автомобиль мог двигаться с такой скоростью, необходим коэффициент трения (см. предыдущую задачу).

Аналогичная ситуация возникает при повороте мотоцикла или велосипеда. Сила трения, создающая центростремительное ускорение, имеет момент относительно центра тяжести, стремящийся опрокинуть мотоцикл. Поэтому для компенсации этого момента моментом силы реакции дороги мотоциклист наклоняется в сторону поворота (рис. 5).

Задача 6 . Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью υ = 70 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол α к горизонту он должен при этом наклониться, чтобы не упасть?

Сила трения между мотоциклом и дорогой , так как она сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Сила реакции дороги N = m·g . Условие равенства моментов силы трения и силы реакции относительно центра тяжести дает уравнение: F тp ·l ·sin α = N ·l ·cos α, где l - расстояние ОА от центра тяжести до следа мотоцикла (см. рис. 5).

Подставляя сюда значения F тp и N , находим что или . Отметим, что равнодействующая сил N и F тp при этом угле наклона мотоцикла проходит через центр тяжести, что и обеспечивает равенство нулю суммарного момента сил N и F тp .

Для того, чтобы увеличить скорость движения по закруглению дороги, участок дороги на повороте делают наклонным. При этом в создании центростремительного ускорения, кроме силы трения, участвует и сила реакции дороги.

Задача 7 . С какой максимальной скоростью υ может двигаться автомобиль по наклонному треку с углом наклона α при радиусе закругления R и коэффициенте трения шин о дорогу k ?

На автомобиль действуют сила тяжести m·g , сила реакции N , направленная перпендикулярно плоскости трека, и сила трения F тp , направленная вдоль трека (рис. 6).

Так как нас не интересуют в данном случае моменты сил, действующих на автомобиль, мы нарисовали все силы приложенными к центру тяжести автомобиля. Векторная сумма всех сил должна быть направлена к центру окружности, по которой движется автомобиль, и сообщать ему центростремительное ускорение. Поэтому сумма проекций сил на направление к центру (горизонтальное направление) равна , то есть

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление равна нулю:

N ·cos α – m·g – F т p ·sin α = 0.

Подставляя в эти уравнения максимальное возможное значение силы трения F тp = k·N и исключая силу N , находим максимальную скорость , с которой еще возможно движение по такому треку. Это выражение всегда больше значения , соответствующего горизонтальной дороге.

Разобравшись с динамикой поворота, перейдем к задачам на вращательное движение в вертикальной плоскости.

Задача 8 . Автомобиль массы m = 1,5 т движется со скоростью υ = 70 км/ч по дороге, показанной на рисунке 7. Участки дороги АВ и ВС можно считать дугами окружностей радиуса R = 200 м, касающимися друг друга в точке В . Определить силу давления автомобиля на дорогу в точках А и С . Как меняется сила давления при прохождении автомобилем точки В ?

В точке А на автомобиль действуют сила тяжести Р = m·g и сила реакции дороги N A . Векторная сумма этих сил должна быть направлена к центру окружности, то есть вертикально вниз, и создавать центростремительное ускорение: , откуда (Н). Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе реакции. В точке С векторная сумма сил направлена вертикально вверх: и (Н). Таким образом, в точке А сила давления меньше силы тяжести, а в точке С - больше.

В точке В автомобиль переходит с выпуклого участка дороги на вогнутый (или наоборот). При движении по выпуклому участку проекция силы тяжести на направление к центру должна превышать силу реакции дороги N B 1 , причем . При движении по вогнутому участку дороги, наоборот, сила реакции дороги N В 2 превосходит проекцию силы тяжести: .

Из этих уравнений получаем, что при прохождении точки В сила давления автомобиля на дорогу меняется скачком на величину ≈ 6·10 3 Н. Разумеется, такие ударные нагрузки действуют разрушающе как на автомобиль, так и на дорогу. Поэтому дороги и мосты всегда стараются делать так, чтобы их кривизна менялась плавно.

При движении автомобиля по окружности с постоянной скоростью сумма проекций всех сил на направление, касательное к окружности, должна быть равна нулю. В нашем случае касательная составляющая силы тяжести уравновешивается силой трения между колесами автомобиля и дорогой.

Величина силы трения регулируется вращательным моментом, прикладываемым к колесам со стороны мотора. Этот момент стремится вызвать проскальзывание колес относительно дороги. Поэтому возникает сила трения, препятствующая проскальзыванию и пропорциональная приложенному моменту. Максимальное значение силы трения равно k·N , где k - коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой, N - сила давления на дорогу. При движении автомобиля вниз сила трения играет роль тормозящей силы, а при движении вверх, наоборот, роль силы тяги.

Задача 9 . Автомобиль массой m = 0,5 т, движущийся со скоростью υ = 200 км/ч, совершает «мертвую петлю» радиуса R = 100 м (рис. 8). Определить силу давления автомобиля на дорогу в верхней точке петли А ; в точке В , радиус-вектор которой составляет угол α = 30º с вертикалью; в точке С , в которой скорость автомобиля направлена вертикально. Возможно ли движение автомобиля по петле с такой постоянной скоростью при коэффициенте трения шин о дорогу k = 0,5?

В верхней точке петли сила тяжести и сила реакции дороги N A направлены вертикально вниз. Сумма этих сил создает центростремительное ускорение: . Поэтому Н.

Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе N А .

В точке В центростремительное ускорение создается суммой силы реакции и проекции силы тяжести на направление к центру: . Отсюда Н.

Легко видеть, что N B > N A ; с увеличением угла α сила реакции дороги увеличивается.

В точке С сила реакции Н; центростремительное ускорение в этой точке создается только силой реакции, а сила тяжести направлена по касательной. При движении по нижней части петли сила реакции будет превышать и максимальное значение Н сила реакции имеет в точке D . Значение , таким образом, является минимальным значением силы реакции.

Скорость автомобиля будет постоянной, если касательная составляющая силы тяжести не превышает максимальной силы трения k·N во всех точках петли. Это условие заведомо выполняется, если минимальное значение превосходит максимальное значение касательной составляющей силы веса. В нашем случае это максимальное значение равно m·g (оно достигается в точке С ), и условие выполняется при k = 0,5, υ = 200 км/ч, R = 100 м.

Таким образом, в нашем случае движение автомобиля по «мертвой петле» с постоянной скоростью возможно.

Рассмотрим теперь движение автомобиля по «мертвой петле» с выключенным мотором. Как уже отмечалось, обычно момент силы трения противодействует моменту, приложенному к колесам со стороны мотора. При движении автомобиля с выключенным мотором этого момента нет, и силой трения между колесами автомобиля и дорогой можно пренебречь.

Скорость автомобиля уже не будет постоянной - касательная составляющая силы тяжести замедляет или ускоряет движение автомобиля по «мертвой петле». Центростремительное ускорение тоже будет меняться. Создается оно, как обычно, равнодействующей силы реакции дороги и проекции силы тяжести на направление к центру петли.

Задача 10 . Какую наименьшую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D (см. рис. 8) для того, чтобы совершить ее с выключенным мотором? Чему будет равна при этом сила давления автомобиля на дорогу в точке В ? Радиус петли R = 100 м, масса автомобиля m = 0,5 т.

Посмотрим, какую минимальную скорость может иметь автомобиль в верхней точке петли А , чтобы продолжать двигаться по окружности?

Центростремительное ускорение в этой точке дороги создается суммой силы тяжести и силы реакции дороги . Чем меньшую скорость имеет автомобиль, тем меньшая возникает сила реакции N A . При значении эта сила обращается в нуль. При меньшей скорости сила тяжести превысит значение, необходимое для создания центростремительного ускорения, и автомобиль оторвется от дороги. При скорости сила реакции дороги обращается в нуль только в верхней точке петли. В самом деле, скорость автомобиля на других участках петли будет большей, и как легко видеть из решения предыдущей задачи, сила реакции дороги тоже будет большей, чем в точке А . Поэтому, если автомобиль в верхней точке петли имеет скорость , то он нигде не оторвется от петли.

Теперь определим, какую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D , чтобы в верхней точке петли А его скорость . Для нахождения скорости υ D можно воспользоваться законом сохранения энергии, как если бы автомобиль двигался только под действием силы тяжести. Дело в том, что сила реакции дороги в каждый момент направлена перпендикулярно перемещению автомобиля, а, следовательно, ее работа равна нулю (напомним, что работа ΔA = F ·Δs ·cos α, где α - угол между силой F и направлением перемещения Δs ). Силой трения между колесами автомобиля и дорогой при движении с выключенным мотором можно пренебречь. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии автомобиля при движении с выключенным мотором не меняется.

Приравняем значения энергии автомобиля в точках А и D . При этом будем отсчитывать высоту от уровня точки D , то есть потенциальную энергию автомобиля в этой точке будем считать равной нулю. Тогда получаем

Подставляя сюда значение для искомой скорости υ D , находим: ≈ 70 м/с ≈ 260 км/ч.

Если автомобиль въедет в петлю с такой скоростью, то он сможет совершить ее с выключенным мотором.

Определим теперь, с какой силой при этом автомобиль будет давить на дорогу в точке В . Скорость автомобиля в точке В опять легко находится из закона сохранения энергии:

Подставляя сюда значение , находим, что скорость .

Воспользовавшись решением предыдущей задачи, по заданной скорости находим силу давления в точке B :

Аналогично можно найти силу давления в любой другой точке «мертвой петли».

Упражнения

1. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин. Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии R = 200 км от поверхности Земли.

2. Диск радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями υ 1 и υ 2 . Определить угловую скорость вращения диска и скорость его центра. Проскальзывание отсутствует.

3. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Показать, что концы векторов скоростей точек вертикального диаметра находятся на одной прямой.

4. Самолет движется по окружности с постоянной горизонтальной скоростью υ = 700 км/час. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета наклонен на угол α = 5°.

5. Груз массы m = 100 г, подвешенный на нити длины l = 1 м, равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его вращении нить отклонена по вертикали на угол α = 30°. Определить также натяжение нити.

6. Автомобиль движется со скоростью υ = 80 км/ч по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по горизонтальному кругу. При каком минимальном коэффициенте трения между шинами автомобиля и поверхностью цилиндра это возможно?

7. Груз массой m подвешен на нерастяжимой нити, максимально возможное натяжение которой равно 1,5m·g . На какой максимальный угол α можно отклонить нить от вертикали, чтобы при дальнейшем движении груза нить не оборвалась? Чему будет равно при этом натяжение нити в тот момент, когда нить составит угол α/2 с вертикалью?

Ответы

I. Угловая скорость искусственного спутника Земли ≈ 0,071 рад/с. Линейная скорость спутника υ = ω·R . где R - радиус орбиты. Подставляя сюда R = R 3 + h , где R 3 ≈ 6400 км, находим υ ≈ 467 км/с.

2. Здесь возможны два случая (рис. 1). Если угловая скорость диска ω, а скорость его центра υ, то скорости точек, соприкасающихся с рейками, будут соответственно равны

в случае a) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = υ – ω·R ;

в случае б) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = ω·R – υ.

(Мы приняли для определенности, что υ 1 > υ 2). Решая эти системы, находим:

а)

б)

3. Скорость любой точки М , лежащей на отрезке ОВ (см. рис. 2), находится по формуле υ M = υ + ω·r M , где r M - расстояние от точки М до центра диска О . Для любой точки N , принадлежащей отрезку ОА , имеем: υ N = υ – ω·r N , где r N - расстояние от точки N до центра. Обозначим через ρ расстояние от любой точки диаметра ВА до точки А соприкосновения диска с плоскостью. Тогда очевидно, что r M = ρ – R и r N = R – ρ = –(ρ – R ). где R - радиус диска. Поэтому скорость любой точки на диаметре ВА находится по формуле: υ ρ = υ + ω·(ρ – R ). Так как диск катится без проскальзывания, то и для скорости υ ρ получаем υ ρ = ω·ρ. Отсюда следует, что концы векторов скоростей находятся на прямой, выходящей из точки А и наклоненной к диаметру ВА под углом, пропорциональным угловой скорости вращения диска ω.

Доказанное утверждение позволяет нам сделать вывод, что сложное движение точек, находящихся на диаметре ВА , можно в каждый данный момент рассматривать как простое вращение вокруг неподвижной точки А с угловой скоростью ω, равной угловой скорости вращения вокруг центра диска. В самом деле, в каждый момент скорости этих точек направлены перпендикулярно диаметру ВА , а по величине равны произведению ω на расстояние до точки А .

Оказывается, что это утверждение справедливо для любой точки диска. Более того, оно является общим правилом. При любом движении твердого тела в каждый момент существует ось, вокруг которой тело просто вращается - мгновенная ось вращения.

4. На самолет действуют (см. рис. 3) сила тяжести Р = m·g и подъемная сила N , направленная перпендикулярно плоскости крыльев (так как самолет движется с постоянной скоростью, то сила тяги и сила лобового сопротивления воздуха уравновешивают друг друга). Равнодействующая сил Р

6. На автомобиль действуют (рис. 5) сила тяжести Р = m·g , сила реакции со стороны цилиндра N и сила трения F тp . Так как автомобиль движется по горизонтальному кругу, то силы Р и F тp уравновешивают друг друга, а сила N создает центростремительное ускорение . Максимальное значение силы трения связано с силой реакции N соотношением: F тp = k·N . В результате получаем систему уравнений: , из которой находится минимальное значение коэффициента трения

7. Груз будет двигаться по окружности радиуса l (рис. 6). Центростремительное ускорение груза (υ - скорость груза) создается разностью величин силы натяжения нити Т и проекции силы тяжести m·g направление нити: . Поэтому , где β - угол, образуемый нитью с вертикалью. По мере того, как груз будет опускаться, его скорость будет расти, а угол β будет уменьшаться. Натяжение нити станет максимальным при угле β = 0 (в тот момент, когда нить будет вертикальной): . Максимальная скорость груза υ 0 находится по углу α, на который отклоняют нить, из закона сохранения энергии:

Используя это соотношение, для максимального значения натяжения нити получаем формулу: T m ax = m·g ·(3 – 2 cos α). По условию задачи T m ах = 2m·g . Приравнивая эти выражения, находим cos α = 0,5 и, следовательно, α = 60°.

Определим теперь натяжение нити при . Скорость груза в этот момент также находится из закона сохранения энергии:

Подставляя значение υ 1 в формулу для силы натяжения, находим: