1.1 Крутильные колебания двухмассовой системы

Сложные схемы конструкций коробок скоростей и коробок подач при расчетах динамических характеристик приводятся к более простым двухмассовым или трехмассовым системам.

Примером простейшей двухмассовой системы может служить гладкий цилиндрический вал с двумя дисками на противоположных концах.

Рис.1. Расчетная схема для определения крутильных колебаний

Диски диаметром D 1 , D 2 и массой т 1 , т 2 имеют моменты инерции масс J 1 =m 1 (D 1 ) 2 /8 и J 2 =m 2 (D 2 ) 2 /8 относительно оси вращения. Диски закреплены на концах вала длиной L , имеющим коэффициент крутильной жесткости с=GI p /L , где G - модуль упругости второго рода материала вала, J p - полярный момент инерции сечения вала. Первоначально вал с дисками был закручен на некоторый угол. В результате закручивания к дискам приложены разнонаправленные упругие моменты М 1 и М 2 .

По длине вала имеется некоторое промежуточное сечение А , называемое узлом колебаний, которое не принимает участия в колебаниях, т.е. это сечение не смещается относительно исходного состояния и расположено на расстояниях l 1 и l 2 от соответствующих дисков. Таким образом, первый диск закрутится относительно сечения А на угол 1 , а второй диск в противоположную сторону на угол 2, так что = 1 + 2 . Если пренебречь трением в подшипниках вала, можно записать уравнения колебаний каждого диска относительно сечения А .

где - коэффициенты крутильной жесткости соответствующих участков вала l 1 и l 2 ;

Полярные моменты инерции сечения соответствующих участков вала.

Так как упругие моменты равны между собой (М 1 =М 2 ) и вал имеет постоянный диаметр по всей длине, то

с 1 =с 2 ;

Если крутильные колебания происходят по синусоидальному закону с амплитудами угловых перемещений Ф 1 и Ф 2 , уравнения изменения углов закручивания дисков во времени будет иметь вид

1 =Ф 1 sin (щ 01 t+ 01 ); 2 =Ф 2 sin (щ 02 t+ 02).

гдещ 01 , щ 02 , 01 , 02 - частоты собственных колебаний и начальные углы.

Так как колебания дисков относительно сечения А происходят с одинаковой частотой, то щ 01 = щ 02 = щ 0 и 01 = 02 = 0 . Продифференцировав два раза последние уравнения и подставив значение второй производной угла закручивания в уравнение упругих моментов получим

или Ф 1 *J 1 = - Ф 2 *J 2 .

Знак "-" показывает, что угловые амплитуды направлены при крутильных колебаниях в противоположные стороны. Из уравнения видно, что угловая амплитуда диска с большим моментом инерции меньше.

Аналогично можно получить зависимость положения узла колебаний - сечения А от моментов инерции дисков

или l 1 *J 1 = l 2 *J 2 .

Уравнение показывает, что узел колебаний находится ближе к тому диску, момент инерции которого больше. При бесконечно большом моменте инерции одного диска возникает частный случай - заделка вала в массивную стенку. Узел колебаний находится в месте заделки.

Угловая частота щ 0 , рад/с, собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор

Частота собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор f 0 , Гц

f 0 = щ 0 / (2р).

Частота собственных крутильных колебаний растет при уменьшении длины и увеличении диаметра вала, а также при уменьшении момента инерции любого диска.

Важным случаем упругих колебаний являются так называемые крутильные колебания, при которых тело переворачивается туда и обратно около оси, проходящей через его центр тяжести.

Если, например, подвесить на проволоке диск (рис. 18), повернуть его так, чтобы проволока закрутилась, и затем отпустить, то диск начнет раскручиваться, закрутится в обратную сторону и т. д., т. е. будет совершать крутильные колебания. При этом также дважды за период имеет место переход кинетической энергии движущегося диска в потенциальную энергию (энергию деформации) закручивающейся проволоки и обратно. Крутильные колебания нередко имеют место в валах двигателей, в частности в гребных валах теплоходных машин, и при известных условиях, о которых речь будет ниже, могут оказаться очень вредными (§ 15).

Рис. 18. Крутильные колебания диска, подвешенного на проволоке

В ручных и карманных часах нельзя использовать подвесной маятник; в них применяется так называемый балансир (рис. 19) - колесико, к оси которого прикреплена спиральная пружина («волосок»). Балансир периодически поворачивается туда и обратно, причем при этих крутильных колебаниях пружинка изгибается (раскручивается и закручивается) в обе стороны от своего равновесного состояния. Таким образом, балансир представляет собой крутильный маятник.

Рис. 19. Часовой балансир

Для периода крутильных колебаний сохраняют силу те же закономерности, что и для периода любых упругих колебаний: период тем больше, чем меньше жесткость системы и чем больше ее масса (при неизменной форме).

При крутильных колебаниях существенна не только масса тела, но и ее распределение относительно оси вращения. Если, например, мы подвесим на проволоке гантель, состоящую из спицы, на которую симметрично насажены два одинаковых груза и (рис. 20), то при раздвигании грузов частота крутильных колебаний будет уменьшаться. Хотя масса гантели остается прежней. Оставляя грузы и на прежних местах, но беря их более массивными, мы увидим, что частота тоже делается меньше.

Рис. 20. Крутильные колебания гантели

Крутильные колебания при больших углах закручивания (малых угловых амплитудах) также являются гармоническими. Период их определяется соотношением

где - жесткость системы. Численно жесткость равна вращающему моменту, дающему поворот на радиан. Если упругие силы обусловлены закручиванием нити или проволоки, то - это так называемая крутильная жесткость этих тел. Величина характеризует распределение массы относительно оси вращения (так называемый момент инерции, играющий во вращательном движения такую же роль, какую играет масса в поступательном движении). Например, для гантели где - масса каждого груза, а - расстояние от грузов до оси вращения.

Цель работы : определение момента инерции некоторых тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс, иссле­дование влияния на момент инерции переноса осей вращения (про­верка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний).

Принадлежности : трифилярный подвес, секундомер, штан­ген­циркуль, тела для измерения момента инерции.

Вопросы, знание которых необходимо для допуска к выполнению работы

1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и ли­нейной скоростью его точек. Единицы измерения.

2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением тела и линейным ускорением его точек. Единицы измерения.

3. Что называется плечом силы?

4. Что называется моментом силы? Чем обусловлены его величина и направление? Единицы измерения.

5. Что называется моментом инерции твердого тела? Единицы из­мерения. От чего зависит величина момента инерции?

6. Напишите и поясните основное уравнение динамики вращательного движения. Какова роль момента инерции в этом уравнении?

7. Сформулируйте теорему Штейнера.

8. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника?

9. Почему натяжение нитей трифилярного подвеса должно быть одинаково?

10. Под действием какой силы трифилярный подвес совершает кру­тильные колебания?

11. Расскажите порядок выполнения работы.

ВВЕДЕНИЕ

При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения понятие о силах заменяется понятием о моментах сил, понятие о массе - понятием о моменте инерции. Если разделить мысленно вращающееся твердое тело на n эле­ментарных масс Dm i , находящихся на расстоянии r i от оси вра­щения, то все они будут иметь в данный момент одинаковые угло­вые скорости и угловые ускорения .

Момент инерции материальной точки численно равен произведению массы точки Dm i на квадрат расстояния r i от оси вращения: Dm i ×r i 2 . Момент инерции всего твердого тела J численно равен сумме моментов инерции всех его точек:

. (1)

Величина момента инерции тела зависит от характера распределения масс относительно оси вращения и поэтому одно и то же тело может иметь разные моменты инерции относительно разных осей.

Если тело может вращаться вокруг неподвижной оси, то изменение его движения зависит от действующего на него момента силы. Моментом силы относительно неподвижной оси называется величина, численно равная произведению силы F на ее плечо h. Плечо силы – есть кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью w и угловым ускорением b:

w = ; b = , (3)

где j - угловое перемещение тела.

Для случая параллельных осей применима теорема Штейнера: момент инерции относительно любой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (d): J = J 0 + md 2 . (5) Например. Подсчитаем момент инерции cплошного стержня длины l относительно оси О"О’ 1 , проходящей через конец стерж­ня (рис.1). По теореме Штейнера J = J 0 + md 2 . Момент инерции относительно оси oo 1 , прохо­дящей через центр масс, J 0 равен: . Следовательно, . На практике момент инерции тела мож­но определить методом трифилярного подвеса. Трифилярный под­вес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях, укреплен­ных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы (рис. 2). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вер­тикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебания определяется величиной мо­мента инерции платформы, он будет другим, если платформу на­грузить каким-либо другим телом. Этим и пользуются в настоящей работе. Если платформа массы m, вращаясь в одном направле­нии, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно E 1 = mgh. Вращаясь в другом направле­нии, платформа пройдет через положение равновесия с кинетичес­кой энергией, равной , где J - момент инерции платформы; w 0 - угловая скорость платформы в момент прохождения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем: Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем написать зависимость углового смещения j платформы от времени в виде: , (7) где a 0 - амплитуда колебаний, Т - период колебаний, t - текущее время. Угловая скорость, являющаяся первой производной j по времени, выражается как: В момент прохождения через положение равновесия (t = 0; (1/2)T; (3/2)Т и т.д.) абсолютное значение этой величины будет Из (6) и (9) имеем: . (10) Поворот платформы на угол a 0 около оси ОО" соответствует ее поднятию на высоту h. Если l - длина нитей подвеса, R - расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r - радиус верхне­го диска, то легко видеть (рис. 3), что . Так как (ВС) 2 = (АВ) 2 - (AC) 2 = l 2 - (R - r) 2 , (ВС 1) 2 = (ВА 1) 2 - (А 1 С 1) 2 = l 2 - (R 2 + r 2 - 2R×r×cosa 0), то . При малых углах отклонения a 0 значение синуса этого угла можно заменить просто значением a 0 (a® sina » a), а величину знаменателя при выполнении условия (R - r)<l . Тогда h = и mg = × , По формуле (11) может быть определен не только момент инерции платформы, но также и тела, помещенного на нее, поскольку все величины в правой части формулы могут быть непосредственно из­мерены. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг его оси при помощи натяжения шнура, приводящего в движе­ние рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других не крутильных колебаний, наличие которых за­трудняет измерения. Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой при покоящейся платформе устанавливается указатель - стержень на подставке. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Сообщают пустой платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время 20 полных колебаний (t 0), что да­ет возможность достаточно точно определять величину периода Т 0 . 2. По формуле (11) определяют момент инерции пустой плат­формы J 0 . 3. Путем взвешивания определяют массу исследуемого тела (m), а затем нагружают им платформу и вновь измеряют время t 20 колебаний, а затем и период колебания Т всей системы. 4. По формуле (11) вычисляют момент инерции всей сис­темы J 1 , принимая ее массу равной сумме масс тела (m) и платформы (m 0). Величина момента инерции тела J определяется как разность J = J 1 - J 0 . 5. Данные заносятся в таблицу 1 и вычисляются абсолютная и относительная погрешности. 6. При помощи трифилярного подвеса проверяется теорема Штейнера, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Сначала определяют момент инерции этих тел, положив их одно на другое в центре платформы. Затем оба тела располага­ют симметрично на платформе и определяют их момент инерции. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси враще­ния. Зная это расстояние, массу тела, момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить теорему Штейнера. Таблица 1 № п/п r, м Dr, м R, м DR, м l , м m 0 , кг t 0 , c T 0 c DT 0 , c m, кг t, с Т, с DТ, с Среднее значение Тела на платформе следует располагать строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга. При измерениях необходимо использовать амплитуды колебаний, большие чем 5-6°. 1. Савельев И.В. Курс общей физики. T. I. - М.: Наука, 1989. 2. Архангельский М.М. Курс физики: механика. - М.: Просвещение, 1975. С. I69-I93. 3. Ливенцев Н.М. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1974. § 11-13. 4. Грабовский В.И. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1970. §21-23. 5. Эткинс П. Физическая химия. - М.: Мир. 1980. 6. Кац Ц.Б. Биофизика на уроках физики. - М.: Просвещение, 1988.

Рассмотрим теперь явление, называемое крутильными колебаниями.

Установка, позволяющая создавать крутильные колебания состоит из штатива с зажимом для закрепления тонкой металлической проволоки, на нижнем конце которой можно подвешивать различные твердые тела (рисю1.4.3). Жестко закрепив концы проволоки в точках Аи В, повернем тело на малый угол вокруг оси проволоки Z и отпустим его. Под действием сил упругости, возникающих при кручении проволоки, тело начнет совершать колебания вокруг оси Z. Их и называют крутильными колебаниями .

Так как это один из видов движения твердого тела вокруг фиксированной оси, то его уравнение движения запишется так (см. лаб. работу № 1.3)

где I – момент инерции подвешенного тела относительно оси проволоки Z, а - момент сил упругости, действующих на тело со стороны проволоки, относительно той же оси. Но в соответствии с уравнением (3) . Тогда, учитывая, что , уравнение (6) можно представить в виде

Это уравнение гармонических колебаний (см. лаб. работу №1.6). Его общее решение можно записать в виде

где - максимальный угол закручивания проволоки (амплитуда колебаний), - начальная фаза колебаний, - циклическая частота колебаний, определяемая формулой

Тогда период крутильных гармонических колебаний

Формулу (10) можно использовать для косвенного измерения как момента инерции тела относительно произвольной оси (ее выбор определяется точкой подвеса тела), так и (с учетом формулы (2)) модуля сдвига материала проволоки.

Измерение момента инерции и модуля сдвига

Момент инерции твердого тела в ряде случаев можно легко рассчитать теоретически. В частности, момент инерции однородного диска (цилиндра), используемого в работе в качестве эталонного тела, относительно оси симметрии Z (рис.1.4.3) задается формулой

где m и D – соответственно масса и диаметр диска.

Подвешивая на одной и той же проволоке эталонное тело с известным , а затем тело с неизвестным моментом инерции I, можно экспериментально определить промежутки времени и , в течение которых совершаются и колебаний эталонным телом и телом с неизвестным моментом инерции. Тогда в соответствии с (10)

Разделив почленно (13) на (12) , после возведения полученного равенства в квадрат находим

В процессе проведения эксперимента целесообразно выбрать . Тогда с учетом (11) для неизвестного момента инерции получаем следующую расчетную формулу

Для измерения модуля сдвига материала проволоки используется только эталонное тело. В этом случае из (11) и (12) с учетом (2) получаем

Порядок выполнения работы

1. Измерить диаметр и длину проволоки.

2. Измерить массу и диаметр эталонного диска.

3. Подвесить к проволоке эталонный диск и измерить время некоторого числа крутильных колебаний (угол закручивания не должен превышать 30°).

4. Подвесить к проволоке за одну из его точек тело с неизвестным моментом инерции (прямоугольная пластина) и измерить время t такого же как для эталонного диска числа колебаний. По формуле (15) рассчитать момент инерции этого тела.

5. Действия по пункту 4 проделать еще раз для двух других точек подвеса (определив таким образом моменты инерции прямоугольной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей).

6. По известному времени и соответствующему числу колебаний эталонного диска рассчитать по формуле (16) модуль сдвига материала проволоки.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. С какими физическими величинами вы познакомились при изучении теории и в процессе выполнения работы. Дайте определения этих величии.

2. Какие физические законы необходимо знать для понимания настоящей лабораторной работы? Сформулируйте эти законы и объясните, как они применяются в работе.

3. Изобразите графически зависимость от времени , , и проекции момента сил упругости на ось Z.

4. Рассчитайте теоретически моменты инерции ряда тел (диск, цилиндр, шар, конус, прямоугольный параллелепипед относительно разных осей (задача конкретизируется преподавателем)). Сравните полученные результаты с экспериментальными.

5. Получите формулу для расчета момента инерции (15) и формулу для расчета модуля сдвига (16).

6. Справедливо ли следующее утверждение: “Если масса и радиусы шара и диска равны, то момент инерции шара меньше момента инерции диска?”

Литература

1 .Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1988. т.1. - §§ 13,26,28-33.

2. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1989. т.1. - §§ 38,39,41,43,53.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.5

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО

КОЛЕСА И СИЛЫ ТРЕНИЯ В ОПОРЕ

Цель работы:

1. Определить момент инерции махового колеса относительно оси вращения.

2. Определить силу трения в опорных стойках оси.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

Моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси оо¢ (рис.1.5) называют величину (1) где - масса i – й материальной точки, на которые на которые мысленно разбито тело , R i - ее расстояние до выбранной оси. Если масса сосредоточена в элементарном объеме , а плотность вещества в окрестности рассматриваемой точки тела

То и вместо (1) можно записать

Предлагаемый метод экспериментального определения момента инерции твердого тела основан на изменения механической энергии системы в процессе изучаемого движения (см. лаб.работу 1.2.).

где - кинетическая энергия системы, - ее собственная потенциальная энергия, - суммарная работа всех внешних сил, действующих на систему, - суммарная работа всех внутренних неконсервативных сил.

Если среди внешних сил имеются как консервативные, так и не-консервативные, то суммарная работа консервативных сил, если она не равна тождественно нулю, может быть представлена как убыль некоторой функции координат материальных точек системы , называемой потенциальной энергией системы во внешнем силовом поле. Например, система n – материальных точек, находящихся вне однородного шара массы М, обладает в его гравитационном поле потенциальной энергией вида

где и - соответственно масса i – й материальной точки и ее радиус - вектор, проведенный из центра шара, С - произвольная постоянная. С помощью выражения (4) легко показать, что в пределах небольших высот потенциальная энергия тела массы поверхности Земли равна

где g - ускорение свободного падения у поверхности Земли, h – высота центра инерции тела над произвольно выбранным у поверхности Земли нулевым уровнем потенциальной энергии (это достигается фиксацией в (4) численного значения константы С).

Представляя теперь в виде

где - - убыль потенциальной энергии системы во внешнем поле, - суммарная работа внешних неконсервативных сил, вместо (3) получаем

величину

называют полной механической энергией системы во внешнем поле.

Предлагаемый в данной работе метод определения момента инерции махового колеса основан на использовании закона изменения полной механической энергии системы в поле силы тяжести. В рассматриваемом случае на систему груз + маховик действуют внешние консервативные силы тяжести и реакции опоры, а также неконсервативные силы сопротивления воздуха и трения в опорных стойках махового колеса. Пренебрегая работой силы сопротивления воздуха и работой внутренних неконсервативных сил, пользуясь уравнением (7), запишем

где - работа силы трения в опоре.

Пусть в начальный момент времени подвешенный груз массой m (рис.1.5.2) Находится на высоте h (от наиболее низкого положе­ния, до которого может опустится груз. (рис.1.5.2). Тогда, учитывая возможность произвольного выбора нулевого уровня потенциальной энергии, начальная энергия рассматриваемой системы, в пренебрежении массой нити, будет равна

где П – сумма потенциальной энергии махового колеса со шкивом в поле силы тяжести и собственной потенциальной энергии системы. Считая, что изменение последней в. процессе движения пренебрежимо мало, в нижней точке для полной энергии получаем

Так как, по предположению, движение груза равноускоренное, то в нижней точке

где t – время опускания груза. Поскольку нить сматывается со шкива без проскальзывания, то для угловой скорости в момент t имеем

где r - радиус шкива.

Представляя (15) - (17) в уравнение (12), после преобразований получаем искомую формулу для момента инерции:

Порядок выполнения работы

1. Определить при помощи технических весов массу подвешиваемого груза m.

2. Измерить штангенциркулем радиус шкива r.

3. Намотать на шкив нить с прикрепленным к свободному концу грузом. Установить груз на высоте h 1 . Высоту h 1 отсчитать от наиболее низкого положения, на которое может опускаться груз.

4. По секундомеру определить время движения груза от верхней точки до нижнего положения.

5. Определить высоту h 2 , на которую поднимется груз за счет инерции маховика.

7. Провести измерения для трех различных подвешенных грузов.

8. Вычислить погрешности измерений f и I.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие физические понятия используются в данной работе? Дайте их определение.

2. Сформулируйте закон изменения полной механической энергии системы во внешнем поле.

3. Какие силы называются консервативными? Эквивалентны ли понятия консервативных и потенциальных сил?

4. Запишите кинематические законы равноускоренного движения мате­риальной точки по прямой и окружности, а также формулу, связывающую линейную и угловую скорости частицы при ее движении по окружности.

5. Получить, пользуясь выражением (4), формулу (5), приняв за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность Земли.

6. Обосновать вывод формулы для f и I. сформулировать все необходимые для этого предположения.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. – М.: Наука, 1989, §§ 19-22,38,39,41,45,46.

В валах поршневых машин (в двигателях внутреннего сгорания, поршневых компрессорах и т. п.) часто возникают крутильные колебания, связанные с неравномерностью (по времени) вращающего момента или момента, сопротивления.

Рис. 12.24. Конструктивная схема, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания - (автомобильные и тракторные двигатели, дизели и т. п.) и динамическая модель крутильных колебаний

Крутильные колебания могут возникать и в других машинах, если крутящий момент, передаваемый валом, не является постоянным. В качестве динамической модели при крутильных колебаниях обычно используется вал с дисками. Моменты инерции масс дисков рассматриваются как приведенные моменты инерции. Например, в поршневых машинах инерционные массы связаны с движением поршней, шатунов и других элементов и приводятся к дискам с эквивалентными моментами инерции. Жесткость участков валов, соединяющих диски принимается как эквивалентная для участков с непрямой осью (коленчатые валы и др.), при шлицевых соединениях и т. п. На рис. 12.24 показаны конструктивная схема коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и динамическая модель крутильных колебаний. Существуют более сложные модели крутильных колебаний с несколькими ветвями, что определяется конструктивными особенностями машин; остановимся на схеме «цепочной системы» (рис. 12.25).

Выведем уравнение крутильных колебаний v для системы из дисков. Рассмотрим уравнение движения диска (рис. 12.26), Обозначая угол поворота диска получим

где - крутящие моменты, действующие на диск со стороны валов правого и левого участков. Угол поворота диска зависит от времени.

Если обозначить жесткость участка , то

здесь - углы поворота конечных сечений участка; - упругий угол поворота вала на участке

где U - длина участка, - эквивалентная жесткость вала на кручение, G - модуль сдвига.

Рис. 12.25. Динамическая модель крутильных колебаний в машинах

Рис. 12.26. К выводу уравнений крутильных колебаний

Подобным образом получаем

Теперь из уравнения (155) находим

Пренебрегая моментами инерции участков вала, можем считать, уравнение (157) при дифференциальным уравнением крутильных колебаний цепочной системы. Полагая

(158)

где - амплитудное значение угла поворота, - круговая частота крутильных колебаний, из уравнения (157) получим

Это и есть уравнение амплитудных углов поворота при крутильных колебаниях цепочной системы.

Рис. 12.27. Крутильные колебания свютемы из двух дисков и вала

Пример. Рассмотрим крутильные колебания - динамической модели, состоящей из двух дисков, соединенных валом (рис. 12.27), Применяя уравнение (159) при находим